Según Prawda, “La IO es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.
APLICACIONES
Asignación de recursos escasos
Por ejemplo se puede asignar recursos como tiempo, dinero, mano de obra, materia prima, etc. a diferentes actividades, consistiendo el problema en efectuar esta asignación a un costo mínimo.
Programación cronológica.
Se podría pensar en determinar los tiempos mínimos necesarios para realizar diferentes actividades, empleando el menor tiempo posible.
Programas de distribución.
Un caso práctico es la distribución de productos considerando su transporte desde distintos origenes hacia diferentes destinos al menor costo posible, dados los costos unitarios de transporte.
Programación de mezcla de productos (alimentos, minerales, etc.)
En algunos casos se requiere combinar determinados insumos para lograr ciertos productos. Por ejemplo se podría tener la información respecto al contenido de elementos nutritivos de diferentes alimentos y sobre las necesidades mínimas de nutrientes para un buen desarrollo de un animal (o podría ser vegetal), el problema consistiría en determinar la dieta óptima que cumpla con los requerimientos mínimos y a su vez resulte menos costosa.
Programación de inventarios.
Es un problema latente en las empresas de producción y/o comercialización ya que deben almacenar productos, solicitar productos y entregar productos, todo ello a determinados costos, el problema consiste en determinar cuál es la política de inventarios más adecuada que reduzca los costos totales.
Programación de corte y ajuste de material
Se puede disponer de determinada materia prima (planchas de madera o metal, tubos electrosoldados, etc.) de tamaño estándar (comercial) y con ellos se desea fabricar cierto tipo de mueble (sillas, mesas, estantes, etc.), el problema consistiría en determinar la asignación óptima de estos recursos, para obtener el menor desperdicio posible, lo que involucra conseguir un mejor rendimiento y por ende un menor costo y mayor utilidad.
Programación de préstamos bancarios
Dadas diferentes opciones de préstamo (o inversión) con distintos niveles de interés y diferentes plazos, se podría determinar la(s) opción(es) óptima que nos indique a quién prestar (o donde invertir) y en qué monto y período de tal manera que se logre la mejor rentabilidad posible.
Programación de cultivos
Disponiendo de cierta área de cultivo, se desea determinar su asignación óptima para diferentes tipos de cultivos, al menor costo posible, dado que se conoce el rendimiento promedio de cultivo por unidad de superficie de terreno cultivado, y las limitaciones de tiempo, dinero, etc.
GLOSARIO
Modelo.- Abstracción o representación idealizada de un sistema real, que debido a la complejidad del sistema, concentra las variables dominantes y las relaciones que lo gobiernan.
Optimizar.- Conseguir el máximo beneficio o el mínimo costo de operación de un sistema mediante el uso de un modelo.
Recurso.- Materias primas, mano de obra, tiempo, dinero, u otro bien (tangible o intangible) cuya disponibilidad es escasa.
Restricción.- Conjunto de desigualdades que limitan los valores que pueden tomar las variables de decisión.
Variable.- Magnitud que se desea determinar resolviendo el modelo de programación lineal. Su valor permite cuantificar la decisión.
Parámetro.- Definen las variables controlables del sistema, en el modelo de programación matemática son constantes conocidas.
MODELO.- Es una representación simplificada de la realidad
MODELO.- Es una representación simplificada de la realidad
Tipos de modelos:
1-
Determinísticos
2-
Probabilísticos
o estocásticos
3-
Lineales
4-
No
lineales
5-
Estáticos
6-
Dinámicos
7-
Continuo
8-
Discreto
MODELOS DE ESTÁTICA VS. DINÁMICA
Un modelo estático, se entiende como la representación
de un sistema para un instante (en el tiempo) en particular o bien para
representar un sistema en el que el tiempo no es importante, por ejemplo un
modelo de dinámica representa a un sistema en el que el
tiempo es una variable de interés, como por ejemplo en el sistema de transporte
de materiales dentro de una fábrica, una torre de enfriamiento de una central
termoeléctrica, etc..
MODELOS DE DETERMINISTA VS ESTOCASTICA
Si un modelo de no
considera ninguna variable importante, comportándose de acuerdo con una ley
probabilística, se le llama un modelo de determinista.
En estos modelos la salida queda determinada una vez que se especifican
los datos y relaciones de entrada al modelo, tomando una cierta cantidad de
tiempo de cómputo para su evaluación.
Sin embargo, muchos sistemas se modelan tomando en cuenta algún
componente aeatorio de entrada, lo que da la característica de modelo
estocástico de .
Un ejemplo sería un sistema de inventarios de una
fábrica, o bien el sistema de líneas de espera de una fabrica, etc. Estos modelos producen una salida que es en
si misma de carácter aleatorio y ésta debe ser tratada únicamente para estimar
las características reales del modelo, esta es una de las principales
desventajas de este tipo de .
MODELOS DE CONTINUOS VS DISCRETOS
Los modelos de discretos y continuos, se definen de manera análoga
a los sistemas discretos y continuos respectivamente. Pero debe entenderse que un modelo discreto
de no siempre se usa para modelar un sistema
discreto. La decisión de utilizar un
modelo discreto o continuo para simular un sistema en particular, depende de
los objetivos específicos de estudio.
Por ejemplo: un modelo de flujo de tráfico en una supercarretera, puede
ser discreto si las características y movimientos de los vehículos en forma
individual es importante. En cambio si
los vehículos pueden considerarse como un agregado en el flujo de tráfico
entonces se puede usar un modelo basado en ecuaciones diferenciales presentes
en un modelo continuo.
Otro ejemplo:
Un fabricante de comida para perros, requiere el auxilio de una compañía
consultora con el objeto de construir un modelo de para su
línea de fabricación, la cual produce medio millón de latas al día a una
velocidad casi constante. Debido a que
cada una de las latas se representó como una entidad separada en el modelo,
éste resulto ser demasiado detallado y por ende caro para correrlo, haciéndolo
poco útil. Unos meses más tarde, se hizo
una reformulación del modelo, tratando al proceso como un flujo continuo. Este nuevo modelo produjo resultados precisos
y se ejecuto en una fracción del tiempo necesario por el modelo original.
Fases de un estudio de Investigación de Operaciones
1-
Definición
del problema
2-
Construcción
del modelo
3-
Solución
del modelo
4-
Validación
del modelo
5-
Implantación
de los resultados finales.
MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACION LINEAL
Es la representación algebraica o simbólica
que resume un problema de programación lineal, el cual permite identificar,
evaluar y seleccionar la mejor alternativa de solución para la toma de
decisiones.
Su estructura general en
forma algebraica está representada por:
n
Optimizar
Z = Σ cjxj
j=1
Sujeto
a:
n
Σ aijxj
= bi ,
i = 1,2,...,m
j=1
xj ³ 0 , j= 1,2,...,n
donde:
xj : Nivel
de la actividad j, j = 1,2,...,n
(variable de decisión)
cj : Costo o
beneficio unitario de la actividad j (coeficiente económico)
Z : Beneficio o costo total debido a todas las actividades.
(función objetivo)
bi : Cantidad
disponible del recurso i, i = 1,2,...,m
aij: Cantidad
del recurso i cosumido por cada unidad de la actividad j (es la tasa de cosumo
unitaria, llamados también coeficientes tecnológicos)
Para explicar el modelo
matemático definido anteriormente veamos el ejemplo siguiente:
El gerente de la fábrica
"El Repuesto" está planeando la programación de producción de dos
tipos de pasadores de sujeción: pasador tipo I (P1) y pasador tipo II (P2). Se
utilizan varios componentes que se tiene en abundancia pero se necesitan dos escasas materias primas: A y B en las siguientes proporciones:
TIPO DE PASADOR
|
||
A
|
B
|
|
P1
P2
|
.2
.1
|
.1
.3
|
De acuerdo a la disponibilidad de la materia
prima, sólo pueden emplearse de A a lo mucho 40 TM y no menos de 30 TM; así
como también como máximo se puede disponer de 50 TM de la materia prima B.
Según política de la
empresa por cada TM de pasadores P1 se debe tener el doble de P2.
La utilidad que se
obtiene por cada TM de pasadores P1 es de $500 y de P2 es de $1000.
Formule el modelo de programación lineal que
permita determinar la cantidad de cada tipo de pasador que debe producirse?.
Solución
Del problema antes
enunciado, si consideramos:
X1 : TM de
pasadores tipo P1 a producir
X2 : TM de
pasadores tipo P2 a producir
El modelo de programación
lineal quedará definido con la siguiente formulación matemática:
MAX Z = 500 X1 +
1000 X2
s.a.
.2X1 + .1
X2 £ 40
.2X1 + .1
X2 ³ 30
.1 X1
+ .3X2 £ 50
2X1 -
X2 = 0
X1
, X2 ³ 0
ELEMENTOS DEL MODELO
Del ejemplo antes
formulado y modelado , podemos reconocer los siguientes elementos:
a) Variables de
decisión y parametros
Las variables constituyen las cantidades o aspectos del
proceso que el decisor está buscando controlar y que por lo tanto representan
las incognitas del sistema. Se representan por Xj, j=1,2,..,n.
Las variables de decisión pueden ser: cuánto
producto de un determinado tipo se debe producir, cuántas horas máquina se debe
asignar a determinada tarea, cuánto dinero se debe asignar a un determinado
proyecto, etc.
En nuestro ejemplo las
variables son:
X1 : TM de
pasadores tipo I (P1) a producir
X2 : TM de
pasadores tipo II (P2) a producir
Los parámetros definen las variables controlables del sistema
y por lo tanto en el modelo se consideran constantes. El analista podrá variar
sus valores cuando se desee evaluar la sensibilidad del modelo (pueden ser las
tasas de insumo por unidad de producto, aporte unitario de cada producto,
disponibilidad de recursos,etc.)
En el ejemplo los parámetros son los
coeficientes de la utilidad ($/TM), la cantidad de materia prima que se utiliza
por cada tonelada de producto y las cantidades máximas y mínimas de la que se
dispone.
b) Función objetivo
Es una aseveración matemática de las metas y
objetivos del decisor. Esta puede ser maximizar beneficios o minimizar costos,
también puede ser maximizar la exposición de una campaña de publicidad,
minimizar el desperdicio, minimizar el tiempo de entrega de un cojunto de
trabajos, etc.
En forma general se
representa por:
OPTIMIZAR
Z = Σ CjXj
Para el ejemplo tenemos
que máximizar las utilidades:
MAX Z = 500 X1 +
1000 X2
c) Restricciones.
Son enunciados matemáticos que describen la
tecnología o realidad del procedimiento que se está modelando y cómo la
tecnología utiliza los recursos disponibles. En un problema de producción, las
restricciones describen como se transforman las materias primas en productos
terminados, en otras situaciones las restricciones describen la utilización de
recursos, niveles máximos y/o mínimos de producción, demanda máxima, ciertos
balances de material que necesitan mantenerse, etc.
Matemáticamente se
expresan en la forma:
n >
Σ aijxj = bi
, i = 1,2,...,m
j=1
<
así como también se
incluye las restricciones de no negatividad:
xj >
0 ;
j=1,2,...,n
Para el ejemplo serán:
Restricción por cantidad
máxima a utilizar de la materia prima A.: 2X1
+ X2 < 40
Restricción por cantidad
mínima a utilizar la materia prima B. : 2X1
+ X2 > 30
Restricción por cantidad
máxima a utilizar de la materia prima B: X1
+ 3 X2 < 50
Restricción de producción
según política de la empresa.: 2X1
- X2 = 0
Restricción por no
negatividad, condición básica de la programación lineal. X1 , X2
> 0
PROPIEDADES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
En todo modelo de programacion
lineal puede distinguirse las siguientes propiedades:
a) Aditividad.
Si un modelo está compuesto de
varias actividades la contribución total a la función objetivo es la suma de
las contribuciones de todas las actividades individuales. Por ejemplo, la suma
de utilidades de cada tipo de pasador producido conformará la contribución total
de la producción de pasadores.
De igual manera, la utilización de
cada recurso es la suma de sus usos en cada actividad. Por ejemplo, la suma de
materia prima empleada por cada producto representará el total de determinada
materia prima empleada en la producción de pasadores.
b) Proporcionalidad
La contribución de cada variable a
la función objetivo y cada restricción es proporcional al valor de la variable.
Dicho de otra manera, la contribución total de una actividad a la función
objetivo o a una restricción es la contribución por unidad multiplicada por el
número de unidades.
Por ejemplo, el número total de TM. de
pasadores de cada tipo producido multiplicado por su valor unitario de la
utilidad representará la contribución a la utilidad (función objetivo), y si la
cantidad producida varía positiva o negativamente su contribución total variará
positiva o negativamente (respectivamente) en la utilidad total.
CARACTERISTICAS DEL MODELO
Considerando
las propiedades antes enunciadas podemos deducir algunas características
importantes del modelo de programación lineal:
a) Todas
las relaciones matemáticas que expresan la función objetivo y las restricciones
son funciones lineales. La linealidad puede observarse fácilmente ya que
las variables son de primer orden.
b) Los
niveles de las actividades pueden expresarse en fracción. Esto significa que la
divisibilidad permite obtener una producción de pasadores en valores
continuos.
c) La
Función objetivo es única. En el caso del ejemplo se trata de maximizar
utilidad.
d) Todos
los parámetros del modelo son constantes conocidas. La certeza puede
observarse al reconocer que se emplea 2 TM de materia prima A para producir 1
TM de P1.
e) Considera
restricciones de no negatividad para los niveles de las variables. Se
asume valores resultantes de las variables, cero o positivo.
PASOS PARA LA
FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Para formular un
modelo de P.L. se requiere un poco de arte, algo de experiencia, cierta dosis
de criterio y del conocimiento matemático (especialmente de dominio algebraico
y aritmético). La secuencia que se da a continuación para la formulación de los
modelos de P.L. es de sentido lógico y puede servir como pauta para que el
analista sea más objetivo en lograr la meta propuesta.
Para enfocar esta
secuencia veamos el siguiente problema:
Cierta empresa
produce dos tipos de caramelos con componente de licor: "Fuerte" y
"Suave". Para fabricar estos productos necesita como ingredientes:
azúcar, licor, saborizante y glucosa. Del azúcar y licor dispone toda la
cantidad necesaria para cualquier producción, mientras que de saborizante y de
glucosa sólo dispone de 200 Kg. y 180 Kg por semana respectivamente. Cada Kg
producido de caramelo "fuerte" y "suave" reporta una
utilidad de cuatro y cinco soles respectivamente. Considerando que la cantidad
de caramelo "fuerte" a producir debe ser al menos igual a la cantidad
de caramelo "suave", debido a la promoción que se está desarrollando,
y que las proporciones de los ingredientes son las mostradas en el cuadro
siguiente:
-------------------------------
Kg ingrdte./Kg caramelo
-------------------------------
TIPO SABORIZANTE GLUCOSA
--------- ---------------------
Fuerte 5 3
Suave 4 6
--------- ----------------------
Para formular el
modelo de programación lineal que permita determinar el programa óptimo de la
producción respectiva de caramelos, deberá:
1.- Identificar
las variables de decisión y representarlo en términos algebraicos, ejm:
Sea
X1 : Kg. de caramelo tipo fuerte
X2 : Kg. de caramelo tipo suave
2. Identificar
la función objetivo o criterio económico lineal para decidir qué debe ser
optimizado en función de las variables de decisión.
En este caso se dispone de la utilidad marginal de
cada Kg. de producto y por lo tanto la utilidad total deberá maximizarse, así:
Max 4X1
+ 5X2
3.- Identificar
las restricciones o limitaciones en el problema y expresarlas en términos de
ecuaciones o desigualdades lineales en función de las variables de decisión.
Se tienen restricciones:
Por disponibilidad de saborisante: 5X1 + 4X2 £ 200
Por disponibilidad de glucosa: 3X1 + 6X2 £ 180
Por política de la empresa en cuanto a promoción: -X1
+ X2 £ 0
4.- Restringir
las variables evitando su negatividad, ejm: X1 ,X2 ³ 0
Por lo tanto el
modelo que puede llevarnos a la solución óptima queda definido de la siguiente
forma:
Sea X1
: Kg. de caramelo tipo fuerte
X2
: Kg. de caramelo tipo suave
Max 4X1 + 5X2
s.a.
5X1
+ 4X2 £ 200
3X1
+ 6X2 £ 180
-X1
+ X2 £ 0
X1 , X2 ³ 0
ELABORACION DE
MODELOS
A continuación se
proporcionan problemas de diferente tipo para que el alumno formule el modelo
de P.L.
PROGRAMACION DE
DIETAS
Una granja
encargada del abastecimiento de carne de la región, tiene entre una de las
variedades la crianza de pollos los mismos que en su último período de vida son
alimentados diariamente con una mezcla de 100 Kg. de: maíz grano amarillo,
torta de soya, harina de pescado, polvillo de arroz, afrechillo de trigo y
melaza de caña, los cuales contienen nutrientes importantes como proteínas,
calcio y fósforo, cuya composición (en porcentaje) y precios (en soles/kg.) se
dan en la tabla siguiente:
MAIZ GRANO AMARILLO
|
TORTA DE SOYA
|
HARINA DE PESCADO
|
POLVILLO DE ARROZ
|
AFRECHILLO DE TRIGO
|
MELAZA DE CAÑA
|
|
PROTEINAS
CALCIO
FOSFORO
|
38.90
10.00
2.50
|
42.00
0.20
2.80
|
65.00
4.50
1.42
|
36.00
0.15
0.90
|
46.00
0.40
0.50
|
2.90
8.20
0.80
|
PRECIO
|
0.38
|
1.10
|
0.70
|
0.25
|
0.28
|
0.11
|
Para que la carne
de pollo se obtenga de buena calidad, es necesario que la mezcla de alimentos
contenga:
- Al
menos 0.1% pero no más de 1.3% de calcio.
- Al
menos 25% de proteinas
- Al
menos 1% pero no más de 2% de fósforo.
- Además,
la harina de pescado no debe exceder del 10% de la mezcla con el objeto de que
la carne no tenga sabor a pescado y , de polvillo, no más del 25% para que la
carne no tenga demasiados ácidos grasos.
Formule el modelo
que determine la mezcla dietética óptima que satisfará los requisitos a un
costo mínimo.
Sean:
X1 : cantidad
en kgs. de maíz grano amarillo
X2 : cantidad
en kgs. de torta de soya
X3 : cantidad
en kgs. de harina de pescado
X4 : cantidad
en kgs. de polvillo de arroz
X5 : cantidad
en kgs. de afrechillo de trigo
X6 : cantidad
en kgs. de melaza de caña
Min Z
= 0.38X1 + 1.10X2 + 0.70X3 + 0.25X4
+ 0.28X5 + 0.11X6
s.a.
Por tamaño del lote
de producción:
X1
+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 100
Por cantidad máxima
de calcio:
0.10X1+
0.002X2 + 0.045X3 + 0.0015X4 + 0.004X5
+ 0.082X6 £ 1.3
Por cantidad mínima
de calcio:
0.10X1+
0.002X2 + 0.045X3 + 0.0015X4 + 0.004X5
+ 0.082X6 ³ 0.1
Por cantidad
proteinas:
0.389X1
+ 0.42X2 + 0.65X3 + 0.36X4 + 0.46X5
+ 0.029X6 ³ 25
Por cantidad máxima
de fósforo:
0.025X1
+ 0.028X2 + 0.0142X3 + 0.009X4 + 0.005X5+
0.008X6 £ 2
Por cantidad mínima
de fósforo:
0.025X1
+ 0.028X2 + 0.0142X3 + 0.009X4 + 0.005X5+
0.008X6 ³ 1
Por cantidad máxima
de harina de pescado
X3 £ 10
Por cantidad máxima
de polvillo de arroz: X4 £ 25
Por no negatividad: Xj ³
0 j=1,2,3,4,5,6
PROGRAMACION DE
MEZCLA DE MINERALES
Se va a mezclar
mineral procedente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para tractor de
oruga de tamaño medio. Los análisis han demostrado que para producir una banda
con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe
contar con tres elementos básicos que para abreviar se designarán como A, B y
C. En particular cada tonelada de mineral debe contener por lo menos 5 libras
del elemento básico A, por lo menos 100
libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada
una de las cuatro minas diferentes contiene los tres elementos básicos pero en
diferentes proporciones. Sus composiciones, en libras por tonelada y los costos
por tonelada se dan en el cuadro:
ELEMENTO
BASICO
|
MINA
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
|
A
B
C
|
10
90
45
|
3
150
25
|
8
75
20
|
2
175
37
|
COSTO
|
800
|
400
|
600
|
500
|
El administrador
tiene como objetivo determinar una combinación factible del costo mínimo.
Formule el modelo de programación lineal.
Sea: Xj : Ton. de material de la mina j
(j=1,2,3,4)
Min Z=
800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4
s.a.
Por
elemento básico A:
10X1
+ 3X2 + 8X3 + 2X4 ³ 5
Por
elemento básico B:
90X1
+ 150X2 + 75X3 + 175X4 ³ 100
Por
elemento básico C:
45X1
+ 25X2 + 20X3
+ 37X4 ³ 30
Por no
negatividad:
Xj
³ 0
j=1,2,3,4
PROBLEMA DE
PRODUCCION
Un gerente de
producción está planeando la programación de tres productos en cuatro máquinas. Cada producto se puede
manufacturar en cada una de las máquinas. A continuación se resumen los costos
de producción por unidad(en $)
PRODUCTO
|
MAQUINA
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
|
EJE
CILINDRO
PISTON
|
4
6
12
|
4
7
10
|
5
5
8
|
7
6
11
|
Enseguida se resume el tiempo (en horas) requerido para
producir una unidad de producto en cada una de las máquinas.
PRODUCTO
|
MAQUINA
|
|||
1
|
2
|
3
|
4
|
|
EJE
CILINDRO
PISTON
|
0.30
0.20
0.80
|
0.25
0.30
0.60
|
0.20
0.20
0.60
|
0.20
0.25
0.50
|
Supóngase que se
requieren 4000, 5000 y 3000 unidades de los productos, y que las horas máquina
disponibles son 1500, 1200, 1500 y 2000, respectivamente. Formular el problema
de programación como un programa lineal.
Sea:
Xij : Número
de unidades de producto i elaborado en la máquina j.
Min. Z = 4X11
+ 4X12 + 5X13 +7X14 + 6X21 + 7X22
+ 5X23 + 6X24 + 12X31 + 10X32 + 8X33
+11X34
s.a.
Por
requerimiento de unidades de producto i:
X11
+ X12 + X13 + X14 ³ 4000 (ejes)
X21
+ X22 + X23 + X24 ³ 5000 (cilindros)Por
tiempo (horas) requerido en la máquina j:
0.3 X11
+ 0.2 X21 + 0.8X31 £ 1500 (máquina
1)
0.25X12
+ 0.3 X22 + 0.6X32 £ 1200 (máquina
2)
0.2 X13
+ 0.2 X23 + 0.6X33 £ 1500 (máquina
3)
0.2 X14
+ 0.25X24 + 0.5X34 £ 2000 (máquina
4)
Por no
negatividad:
Xij
³ 0
i=1,2,3 j=1,2,3,4
PROBLEMA DE
EQUILIBRIO DE CARGAS EN UN MEDIO DE TRANSPORTE
Un avión de carga
tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y posterior.
Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en
espacio. Los datos se resumen enseguida:
COMPARTIMIENTO
|
CAPACIDAD DE PESO
(TON)
|
CAPACIDAD DE
ESPACIO (pies 3 )
|
Delantero
Central
Posterior
|
12
18
10
|
7000
9000
5000
|
Para mantener el avión balanceado, el peso de
la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su
capacidad.
Se tienen ofertas
para los siguientes cuatro envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con
espacio:
CARGA
|
PESO (Ton)
|
VOLUMEN
(pies3/ton)
|
GANANCIA ($/ton)
|
1
2
3
4
|
20
16
25
13
|
500
700
600
400
|
280
360
320
250
|
Se puede aceptar
cualquier porción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de
cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los
compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo.Formule el modelo de
programación lineal.
Sea: Xij : La cantidad asignada (ton) de la
carga i al compartimiento j
Max
Z = 280(X11 + X12
+ X13) + 360(X21 + X22 + X23) +
320(X31 + X32 + X33) + 250(X41 + X42
+ X43)
s.a
Por capacidad de
peso en cada compartimiento:
X11 + X21
+ X31 + X41 £ 12
X12 + X22
+ X32 + X42 £ 18
X13 + X23
+ X33 + X43 £ 10
Por peso ofertado
de carga:
X11 + X12
+ X13 £ 20
X21 + X22
+ X23 £ 16
X31 + X32
+ X33 £ 25
X41 + X42
+ X43 £ 13
Por capacidad de
volumen en cada compartimiento:
500X11 +
700X21 + 600X31 + 400X41 £ 7000
500X12 +
700X22 + 600X32 + 400X42 £ 9000
500X13 +
700X23 + 600X33 + 400X43 £ 5000
Por
proporcionalidad para mantener equilibrio:
X11 + X21
+ X31 + X41 = X12
+ X22 + X32 + X42 = X13 + X23 + X33
+ X43
12 18 10
Por no negatividad:
Xij ³ 0
i=1,2,3,4 j=1,2,3
ACTIVIDAD
Formule el modelo
de programación lineal de los siguientes
enunciados:
1 PROBLEMA
DE CONSTRUCCION DE CAPAS CONFORMADORAS DE UNA ESTRUCTURA DE PAVIMENTO
Una
Municipalidad de la sierra piurana desea realizar un contrato para la
pavimentación de una vía. Las especificaciones requieren un espesor mínimo de
12" y un máximo de 48". El camino debe ser pavimentado en concreto,
asfalto o gravilla, o cualquier combinación de los tres.
Sin
embargo, las especificaciones indican que se requiere de una consistencia final
igual o mayor que la correspondiente a una superficie de concreto de 9" de
espesor.
Los
estudios técnicos determinan que 3" de su asfalto son tan resistentes como
1" de concreto y 6" de gravilla son tan resistentes como 1" de
concreto. Cada pulgada de espesor por yarda cuadrada de concreto cuesta $4, de
asfalto $2 y de gravilla $1. Cuál deberá ser el costo/yarda cuadrada óptimo del
contrato.
2- PROBLEMA
DE CULTIVOS
Una empresa opera cuatro granjas de productividad
comparable. Cada granja tiene una cierta cantidad de hectáreas útiles y un
número de horas disponibles para plantar y atender los cultivos. Los datos para
la siguiente temporada se muestran en el cuadro siguiente.
DATOS
DE AREA Y TRABAJO POR GRANJA
GRANJA
|
AREA UTILIZABLE
|
HORAS DE TRABAJO
DISPONIBLES POR MES
|
1
2
3
4
|
500
900
300
700
|
1700
3000
900
2200
|
La
organización está pensando en sembrar tres cultivos, que difieren según el
cuadro siguiente:
DATOS
DE AREA, TRABAJO Y UTILIDAD POR CULTIVO
CULTIVO
|
AREA MAXIMA
|
HRS. DE LABOR
REQUERIDAS AL MES POR Há
|
UTILIDAD ESPERADA
POR Há
|
A
B
C
|
700
800
300
|
2
4
3
|
$ 500
200
300
|
Por
otra parte, el área total que puede ser destinada a cualquier cultivo
particular está limitada por los requerimientos de equipo de cultivo. Con el
objeto de mantener, a grandes rasgos, cargas de trabajo uniformes entre las
granjas, la política de la administración es que el porcentaje del área
aprovechada debe ser el mismo en cada granja. Sin embargo se puede cultivar
cualquier combinación de las plantaciones en tanto se satisfagan todas las
restricciones (incluyendo el requerimiento de la carga de trabajo uniforme).
La
administración desea saber cuantos Hectáreas de cada cultivo deben sembrarse en
las respectivas granjas con el objeto de maximizar las utilidades.
ESQUEMA DEL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
1. Título
2. Introducción
3. Problema
4. Objetivo
5. Marco
teórico
6. Modelo
matemático
7. Solución
del modelo
8. Interpretación
de resultados
9. Conclusiones
10. Recomendaciones
11. Bibliografía
12. Anexos
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